ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      



Задача 79434

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 3+
Классы: 9

На окружности выбрано пять точек A1, A2, A3, A4, H. Обозначим через hij расстояние от точки H до прямой AiAj. Доказать, что   h12h34 = h14h23.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79435

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10

Доказать, что при любой расстановке знаков "+" и "−" у нечётных степеней x выполнено неравенство
x2n ± x2n–1 + x2n–2 ± x2n–3 + ... + x4 ± x³ + x² ± x + 1 > ½  (x – произвольное действительное число, а n – натуральное).

Прислать комментарий     Решение

Задача 79441

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

На доске после занятия осталась запись:

  "Вычислить  t(0) − t(π/5) + t(/5) − t(/5) + ... + t(/5) − t(/5),  где  t(x) = cos5x + *cos4x + *cos3x + *cos2x + *cosx + *".
Увидев её, студент мехмата сказал товарищу, что он может вычислить эту сумму, даже не зная значений стёртых с доски коэффициентов (вместо них в нашей записи *). Не ошибается ли он?

Прислать комментарий     Решение

Задача 79427

Тема:   [ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3+
Классы: 8

Найти наименьшее натуральное число, начинающееся с цифры 4 и уменьшающееся в четыре раза от перестановки этой цифры в конец числа.
Прислать комментарий     Решение


Задача 79431

Темы:   [ Векторы ]
[ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 3+
Классы: 9

На сторонах треугольника ABC вне его построены правильные треугольники ABC1, BCA1 и CAB1. Доказать, что $ \overrightarrow{AA_1}$ + $ \overrightarrow{BB_1}$ + $ \overrightarrow{CC_1}$ = $ \overrightarrow{0}$.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .