Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 41]
Треугольник ABC вписан в окружность. Точка A1 диаметрально противоположна точке A, точка A0 – середина стороны BC, точка A2 симметрична точке A1 относительно точки A0. Точки B2 и C2 определяются аналогично. Докажите, что точки A2, B2 и C2 совпадают.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Через S(n) обозначим сумму цифр числа n (в десятичной записи).
Существуют ли три таких различных натуральных числа m, n и p, что m + S(m) = n+S(n) = p + S(p)?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Требуется сделать набор гирек, каждая из которых весит целое число граммов,
с помощью которых можно взвесить любой целый вес от 1 до 55 граммов включительно даже в том случае, если некоторые гирьки потеряны (гирьки кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес – на другую). Рассмотрите два варианта задачи:
а) необходимо подобрать 10 гирек, из которых может быть потеряна
любая одна;
б) необходимо подобрать 12 гирек, из которых могут быть потеряны любые две.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Известно, что уравнение x4 + ax³ + 2x² + bx + 1 = 0 имеет действительный корень. Докажите неравенство a² + b² ≥ 8.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
В каждой целой точке числовой оси расположена лампочка с кнопкой, при
нажатии которой лампочка меняет состояние – загорается или гаснет. Вначале все лампочки погашены. Задано конечное множество целых чисел – шаблон S. Его можно перемещать вдоль числовой оси как жесткую фигуру и, приложив в любом месте, поменять состояние множества всех лампочек, закрытых шаблоном. Докажите, что при любом S за несколько операций можно добиться того, что будут гореть ровно две лампочки.
Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 41]
Фильтр
