Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть в прямоугольном треугольнике AB и AC – катеты,  AC > AB.  На AC выбрана точка E, а на BC – точка D так, что  AB = AE = BD.
Докажите, что треугольник ADE прямоугольный тогда и только тогда, когда стороны треугольника ABC относятся как  3 : 4 : 5.

   Решение

---

Натуральные числа от 1 до 100 раскрашены в три цвета: 50 чисел – в красный, 25 чисел – в жёлтый и 25 – в зелёный. Известно, что все красные и жёлтые числа можно разбить на 25 троек так, чтобы в каждой тройке было два красных числа и одно жёлтое, которое больше одного красного и меньше другого. Аналогичное утверждение верно для красных и зелёных чисел. Обязательно ли все 100 чисел можно разбить на 25 четвёрок, в каждой из которых два красных числа, одно жёлтое и одно зелёное, при этом жёлтое и зелёное числа лежат между красными?

   Решение

---

Квадрат расчерчен на 16 равных клеток. Каждую из букв A, B, C, D расставьте в этих клетках по четыре раза таким образом, чтобы на каждой горизонтали, каждой вертикали и двух больших диагоналях не было одинаковых букв.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98345  (#1)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Куб ] [ Разложение на множители ] [ Объем тела равен сумме объемов его частей ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

Куб разрезали на 99 кубиков, из которых ровно у одного ребро имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных ребро равно 1).
Найдите объём исходного куба.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98346  (#2)

Тема:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9,10

a и b – натуральные числа. Известно, что  a² + b²  делится на ab. Докажите, что  a = b.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98347  (#3)

Темы:   [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ] [ Перегруппировка площадей ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Центр круга – точка с декартовыми координатами  (a, b).  Известно, что начало координат лежит внутри круга. Обозначим через S⁺ общую площадь частей круга, состоящих из точек, обе координаты которых имеют одинаковый знак; а через S^– – площадь частей, состоящих из точек с координатами разных знаков. Найдите величину  S⁺ – S^–.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98348  (#4)

Темы:   [ Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Около правильного тетраэдра ABCD описана сфера. На его гранях как на основаниях построены во внешнюю сторону правильные пирамиды ABCD', ABDC', ACDB', BCDA', вершины которых лежат на этой сфере. Найдите угол между плоскостями ABC' и ACD'.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98349  (#5)

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку, второй в ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый ставит на свободное место красную точку, второй ставит на свободные места 10 синих, и т.д. Первый считается выигравшим, если какие-то три красные точки образуют правильный треугольник. Может ли второй ему помешать?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями