Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 582 583 584 585 586 587 588 >> [Всего задач: 4557]

Задача 57143

Тема:

[

ГМТ - окружность или дуга окружности

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Пусть S — окружность Аполлония для точек A и B, причем точка A лежит вне окружности S. Из точки A проведены касательные AP и AQ к окружности S. Докажите, что B — середина отрезка PQ.

Прислать комментарий Решение

Задача 57149

Темы:	[	ГМТ и вписанный угол	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Поворот (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

а) На окружности фиксированы точки A и B, а точки A₁ и B₁ движутся по той же окружности так, что величина дуги A₁B₁ остается постоянной; M — точка пересечения прямых AA₁ и BB₁. Найдите ГМТ M.
б) В окружность вписаны треугольники ABC и A₁B₁C₁, причем треугольник ABC неподвижен, а треугольник A₁B₁C₁ вращается. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке не более чем при одном положении треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 57156

Темы:	[	Гомотетия: построения и геометрические места точек	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Дан треугольник ABC. Найдите множество центров прямоугольников PQRS, вершины Q и P которых лежат на стороне AC, вершины R и S — на сторонах AB и BC соответственно.

Прислать комментарий Решение

Задача 57157

Темы:	[	Гомотетия: построения и геометрические места точек	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Гомотетия (ГМТ)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена секущая, вторично пересекающаяся с окружностями в точках P и Q. Какую линию описывает середина отрезка PQ, когда секущая вращается вокруг точки A?

Прислать комментарий Решение

Задача 57163

Тема:

[

Метод ГМТ

]

Сложность: 4
Классы: 9

Точки A, B и C таковы, что для любой четвертой точки M либо MA $\leq$ MB, либо MA $\leq$ MC. Докажите, что точка A лежит на отрезке BC.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 582 583 584 585 586 587 588 >> [Всего задач: 4557]