Страница:
<< 1274 1275 1276 1277
1278 1279 1280 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
а) Докажите, что существует натуральное число, которое при замене любой тройки
соседних цифр на произвольную тройку остаётся составным.
б) Существует ли такое 1997-значное число?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10
|
По окружности в одном направлении на равных расстояниях курсируют n поездов. На этой дороге в вершинах правильного треугольника расположены станции A, B и C (обозначенные по направлению движения). Ира входит на станцию A и одновременно Лёша входит на станцию B, чтобы уехать на ближайших поездах. Известно, что если они входят на станции в тот момент, когда машинист Рома проезжает лес, то Ира сядет в поезд раньше Лёши, а в остальных случаях Лёша – раньше Иры или одновременно с ней. Какая часть дороги проходит по лесу?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
2n шахматистов дважды провели круговой турнир (за победу начисляется одно очко, за ничью – ½, за поражение – 0).
Докажите, что если сумма очков каждого изменилась не менее чем на n, то она изменилась ровно на n.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В круговом турнире не было ничьих, за победу присуждалось 1 очко, за
поражение – 0. Затем был определен коэффициент каждого участника. Он
равнялся сумме очков, набранных теми, кого победил данный спортсмен. Оказалось, что у всех участников коэффициенты равны. Число участников турнира больше двух. Докажите, что все спортсмены набрали одинаковое количество очков.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В стране Нашии есть военные базы, соединённые дорогами. Набор дорог называется
важным, если после закрытия этих дорог найдутся две базы, не соединённые путем. Важный набор называется стратегическим, если он не содержит
меньшего важного набора. Докажите, что множество дорог, каждая из которых
принадлежит ровно одному из двух различных стратегических наборов, образует
важный набор.
Страница:
<< 1274 1275 1276 1277
1278 1279 1280 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
