Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1358 1359 1360 1361 1362 1363 1364 >> [Всего задач: 8157]

Задача 67133

Темы:	[	Многогранники и многоугольники (прочее)	]
	[	Точка Торричелли	]
	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Эрднигор А.

Дан центрально-симметричный октаэдр $ABCA'B'C'$ (пары $A$ и $A'$, $B$ и $B'$, $C$ и $C'$ противоположны), такой, что суммы плоских углов при каждой из вершин октаэдра равны $240^{\circ}$. В треугольниках $ABC$ и $A'BC$ отмечены точки Торричелли $T_1$ и $T_2$. Докажите, что расстояния от $T_1$ и $T_2$ до $BC$ равны.

Прислать комментарий Решение

Задача 67247

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Плотников М., Френкин Б.Р.

Прямая Эйлера неравнобедренного треугольника касается вписанной в него окружности. Докажите, что треугольник тупоугольный.

Прислать комментарий Решение

Задача 67291

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Возрастающая последовательность натуральных чисел $a_1 < a_2 < \dots$ такова, что при каждом целом $n > 100$ число $a_n$ равно наименьшему натуральному числу, большему чем $a_{n-1}$ и не делящемуся ни на одно из чисел $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Докажите, что в такой последовательности лишь конечное количество составных чисел.

Прислать комментарий Решение

Задача 67325

Темы:	[	Обход графов	]
	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Грибалко А.В., Михайлов И.

Петя и Вася независимо друг от друга разбивают белую клетчатую доску $100\times 100$ на произвольные группы клеток, каждая из чётного (но не обязательно все из одинакового) числа клеток, каждый – на свой набор групп. Верно ли, что после этого всегда можно покрасить по половине клеток в каждой группе из разбиения Пети в чёрный цвет так, чтобы в каждой группе из разбиения Васи было поровну чёрных и белых клеток?

Прислать комментарий Решение

Задача 67342

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Марданов А.

В трапецию $ABCD$ ($AD\parallel BC$) вписана окружность $\omega$, которая касается сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $P$ параллельно основаниям трапеции, пересекает прямую $QR$ в точке $X$. Докажите, что прямые $AB$, $QS$ и $DX$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1358 1359 1360 1361 1362 1363 1364 >> [Всего задач: 8157]