Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1357 1358 1359 1360 1361 1362 1363 >> [Всего задач: 8157]

Задача 66786

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Белухов Н., Заславский А.А.

Четырехугольник $ABCD$ без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром $I$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Известно, что $AB\cdot CD=4IK\cdot IM$. Докажите, что $BC\cdot AD=4IL\cdot IN$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66802

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Прокопенко Д.

Пусть точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $A_1$ симметрична ортоцентру треугольника $PBC$ относительно серединного перпендикуляра к $BC$. Точки $B_1$ и $C_1$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 67005

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Центральное проектирование	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Кожевников П.А., Кузнецов А.

Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67106

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Четырехугольники (построения)	]
	[	Окружность Аполлония	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Во вписанно-описанном четырехугольнике отметили центры $O$, $I$ описанной и вписанной окружностей и середину $M$ одной из диагоналей, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его.

Прислать комментарий Решение

Задача 67121

Темы:	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]
Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Яковлев Б.

Дан равнобедренный треугольник $ABC$, $AB=AC$, $P$ – середина меньшей дуги $AB$ окружности $ABC$, $Q$ – середина отрезка $AC$. Окружность с центром в $O$, описанная около $APQ$, вторично пересекает $AB$ в точке $K$. Докажите, что прямые $PO$ и $KQ$ пересекаются на биссектрисе угла $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1357 1358 1359 1360 1361 1362 1363 >> [Всего задач: 8157]