Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1359 1360 1361 1362 1363 1364 1365 >> [Всего задач: 8157]

Задача 67353

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Формулы для площади треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Через вершины $A$, $B$, $C$ треугольника $ABC$ провели прямые $a_1, b_1, c_1$ соответственно. Отразим $a_1$, $b_1$, $c_1$ относительно биссектрис соответствующих углов треугольника $ABC$, получив $a_2$, $b_2$, $c_2$. Пусть $A_1=b_1\cap c_1$, $B_1=a_1\cap c_1$, $C_1=a_1\cap b_1$, аналогично определим $A_2$, $B_2$, $C_2$. Докажите, что у треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ одинаковое отношение площади к радиусу описанной окружности (т.е. $\frac{S_1}{R_1}=\frac{S_2}{R_2}$, где $S_i=S(\triangle A_iB_iC_i)$, $R_i=R(\triangle A_iB_iC_i)$).

Прислать комментарий Решение

Задача 67365

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Многоугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шмарин С.

Из картона вырезали два многоугольника. Может ли быть, что при любом их расположении на плоскости они либо имеют общие внутренние точки, либо пересекаются по конечному множеству точек?

Прислать комментарий Решение

Задача 67367

Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Шекера А.

Даны 4 точки на плоскости $A$, $B$, $C$, $D$, не образующие прямоугольник. Пусть стороны треугольника $T$ равны $AB+CD$, $AC+BD$, $AD+BC$. Докажите, что $T$ – остроугольный.

Прислать комментарий Решение

Задача 67387

Тема:

[

Взвешивания

]

Сложность: 4
Классы: 6,7,8,9

Автор: Казицына Т.В.

У Пети было 18 одинаковых по внешнему виду монет – две по 1 г, две по 2 г, две по 3 г, ..., две по 9 г. Он разложил их на подносе по кругу, как показано на рисунке. Потом поднос как-то повернули, и теперь непонятно, где какая монета. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь это определить?

Прислать комментарий

Решение

Задача 67530

Темы:	[	Центр масс	]
Темы:	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Конышев В.

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ с точкой пересечения диагоналей $P$ на отрезках $AC$, $BD$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно. При этом $CK = AP$ и $DL = BP$. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей $ALC$ и $BKD$, содержит центр масс четырехугольника $ABCD$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1359 1360 1361 1362 1363 1364 1365 >> [Всего задач: 8157]