Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1415 1416 1417 1418 1419 1420 1421 >> [Всего задач: 8157]

Задача 110218

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Козлов П.

Число N, не делящееся на 81, представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, делящихся на 3.
Докажите, что оно также представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, не делящихся на 3.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110753

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Протасов В.Ю.

Точки A', B', C' – основания высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с центром B и радиусом BB' пересекает прямую A'C' в точках K и L (точки K и A лежат по одну сторону от BB'). Докажите, что точка пересечения прямых AK и CL лежит на прямой BO, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110762

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Неравенства с медианами	]
	[	Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$	]
	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Автор: Берлов С.Л.

Медианы AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке M , причем AMB=120^o . Докажите, что углы AB'M и BA'M не могут быть оба острыми или оба тупыми.

Прислать комментарий Решение

Задача 110764

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Френкин Б.Р.

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Докажите, что радиус этой окружности меньше суммы радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC и ACD .

Прислать комментарий Решение

Задача 110767

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	ГМТ - прямая или отрезок	]

Сложность: 4+
Классы: 9

Автор: Тахаев С.

Дан треугольник ABC. Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABH, где H – ортоцентр треугольника ABC. Прямые AP, BP пересекают противоположные стороны треугольника в точках A', B'. Найдите геометрическое место середин отрезков A'B'.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1415 1416 1417 1418 1419 1420 1421 >> [Всего задач: 8157]