Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1505 1506 1507 1508 1509 1510 1511 >> [Всего задач: 8157]

Задача 108245

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Авторы: Сонкин М., Терешин Д.А.

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках M и N. Через точку A окружности S₁ проведены прямые AM и AN, пересекающие окружность S₂ в точках B и C, а через точку D окружности S₂ – прямые DM и DN, пересекающие S₁ в точках E и F, причём точки A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN, а D, B, C – по другую (см. рис.). Докажите, что если AB = DE, то точки A, F, C и D лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек A и D.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108248

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Кожевников П.А.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD провели биссектрисы l_a, l_b, l_c и l_d внешних углов при вершинах A, B, C и D соответственно. Точки пересечения прямых l_a и l_b, l_b и l_c, l_c и l_d, l_d и l_a обозначили через K, L, M и N. Известно, что три перпендикуляра, опущенных из точки K на AB, из L на BC, из M на CD пересекаются в одной точке. Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109194

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

У ведущего есть колода из 52 карт. Зрители хотят узнать, в каком порядке лежат карты (при этом не уточняя сверху вниз или снизу вверх). Разрешается задавать ведущему вопросы вида "Сколько карт лежит между такой-то и такой-то картами?". Один из зрителей подсмотрел, в каком порядке лежат карты. Какое наименьшее число вопросов он должен задать, чтобы остальные зрители по ответам на эти вопросы могли узнать порядок карт в колоде?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109198

Темы:	[	Комбинаторика орбит	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Скажем, что колода из 52 карт сложена правильно, если каждая пара лежащих рядом карт совпадает по масти или достоинству, то же верно для верхней и нижней карты, и наверху лежит туз пик. Докажите, что число способов сложить колоду правильно
а) делится на 12!;
б) делится на 13!.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109199

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Неравенство Иенсена	]
	[	Выпуклость и вогнутость (прочее)	]
	[	Теоремы о среднем значении	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Толпыго А.К.

Положительные числа х₁, ..., х_k удовлетворяют неравенствам
а) Докажите, что k > 50.
б) Построить пример таких чисел для какого-нибудь k.
в) Найти минимальное k, для которого пример возможен.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1505 1506 1507 1508 1509 1510 1511 >> [Всего задач: 8157]