Страница: << 1506 1507 1508 1509 1510 1511 1512 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109498

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

В однокруговом футбольном турнире играли  n > 4  команд. За победу давалось 3 очка, за ничью 1, за проигрыш 0. Оказалось, что все команды набрали поровну очков.
  а) Докажите, что найдутся четыре команды, имеющие поровну побед, поровну ничьих и поровну поражений.
  б) При каком наименьшем n могут не найтись пять таких команд?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109499

Темы:   [ Точка Торричелли ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Стороны треугольника ABC видны из точки T под углами 120°.
Докажите, что прямые, симметричные прямым AT, BT и CT относительно прямых BC, CA и AB соответственно, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109505

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Общие четырехугольники ] [ Углы между биссектрисами ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Вспомогательная окружность ] [ Средняя линия треугольника ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

В четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны, M – середина стороны AD. Известно, что  ∠BMC = 90°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника ABCD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109524

Темы:   [ Задачи с ограничениями ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины – его сын, а справа – его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109556

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Правильный тетраэдр ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Высоты AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ тетраэдра ABCD пересекаются в центре H сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁.
Докажите, что тетраэдр ABCD – правильный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1506 1507 1508 1509 1510 1511 1512 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями