Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1509 1510 1511 1512 1513 1514 1515 >> [Всего задач: 8157]

Задача 109662

Темы:	[	Свойства параллельного переноса	]
	[	Метод ГМТ	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Дольников В.Л., Карасев Р.

На плоскости нарисовано некоторое семейство S правильных треугольников, получающихся друг из друга параллельными переносами, причем любые два треугольника пересекаются. Докажите, что найдутся три точки такие, что любой треугольник семейства S содержит хотя бы одну из них.

Прислать комментарий Решение

Задача 109665

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Возвратные уравнения	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5-
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Гальперин Г.А.

Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение каждых двух из которых делится нацело на квадрат их разности?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109669

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Наименьший или наибольший угол	]
	[	Длины сторон (неравенства)	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

Даны два выпуклых многоугольника. Известно, что расстояние между любыми двумя вершинами первого не больше 1 , расстояние между любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а расстояние между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше, чем 1/ . Докажите, что многоугольники не имеют общих внутренних точек.

Прислать комментарий Решение

Задача 109672

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Полуинварианты	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Малинникова Е.

С числом разрешается проводить одно из двух действий: возводить в квадрат или прибавлять единицу. Даны числа 19 и 98 . Можно ли из них за одно и то же количество действий получить равные числа?

Прислать комментарий Решение

Задача 109678

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 5-
Классы: 7,8,9

Авторы: Волченков С.Г., Медников Л.Э.

Обозначим S(x) сумму цифр числа x . Найдутся ли три таких натуральных числа a , b и c , что S(a+b)<5 , S(a+c)<5 и S(b+c)<5 , но S(a+b+c)>50 ?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1509 1510 1511 1512 1513 1514 1515 >> [Всего задач: 8157]