Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1608 1609 1610 1611 1612 1613 1614 >> [Всего задач: 8157]

Задача 108156

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Сонкин М.

Пусть окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $K$, $L$ и $M$ соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники $BKL$, $CLM$ и $AKM$ проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника $ABC$. Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 109148

Темы:	[	Площадь сечения	]
	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Свойства сечений	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Ребро правильного тетраэдра равно a . Найти стороны и площадь сечения, параллельного двум его скрещивающимся рёбрам и отстоящего от центра тетраэдра на расстояние b , причём 0<b<a/4 .

Прислать комментарий Решение

Задача 109165

Темы:	[	Тела вращения	]
	[	Поверхность круглых тел	]
	[	Площадь и объем (задачи на экстремум)	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

В плоскости расположена прямая y и прямоугольный треугольник ABC с катетами AC=3; BC=4 . Вершина C находится на расстоянии 10 от прямой y . Угол между y и направлением катета AC равен α . Надо определить угол α , при котором поверхность, полученная вращением треугольника ABC вокруг прямой y , будет наименьшей.

Прислать комментарий Решение

Задача 109488

Темы:	[	Точка Микеля	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	ГМТ и вписанный угол	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Филимонов В.П.

Точки A' , B' и C' "– середины сторон BC , CA и AB треугольника ABC соответственно, а BH "– его высота. Докажите, что если описанные около треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M , отличную от H , то ABM= CBB' .

Прислать комментарий Решение

Задача 109568

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Полуинварианты	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Мусин О.

На прямой отмечены n различных синих точек и n различных красных точек. Докажите, что сумма попарных расстояний между точками одного цвета не превосходит суммы попарных расстояний между точками разного цвета.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1608 1609 1610 1611 1612 1613 1614 >> [Всего задач: 8157]