соревнования:
-
Московская математическая олимпиада
(2003 задачи)
Турнир городов
(1854 задачи)
Турнир им.Ломоносова
(372 задачи)
Математический праздник
(404 задачи)
Турнир журнала "Квант"
(8 задач)
Белорусские республиканские математические олимпиады
(132 задачи)
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
(915 задач)
Московская устная олимпиада по геометрии
(185 задач)
Московская математическая регата
(557 задач)
Московская устная олимпиада для 6-7 классов
(188 задач)
Окружная олимпиада (Москва)
(416 задач)
Всероссийская олимпиада по математике
(1125 задач)
Международная Математическая Олимпиада
(16 задач)
Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
(48 задач)
Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
(150 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 1612 1613 1614 1615 1616 1617 1618 >> [Всего задач: 8157]
Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в
точке N . Хорды BA и BC внешней окружности касаются
внутренней в точках K и M соответственно. Пусть Q
и P – середины дуг AB и BC , не содержащих точку
N . Окружности, описанные около треугольников BQK и
BPM , пересекаются в точке B1 . Докажите, что
BPB1Q – параллелограмм.
Точки A2 , B2 и C2 – середины высот AA1 ,
BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC . Найдите
сумму углов B2A1C2 , C2B1A2 и A2C1B2 .
На плоскости дано k точек, расположенных так, что на каждой
прямой, соединяющей две из этих точек, лежит по крайней мере ещё
одна из них. Доказать, что все k точек лежат на одной прямой.
Внутри выпуклого стоугольника выбрано k точек, 2
k 50 . Докажите, что можно отметить 2k
вершин стоугольника так, чтобы все выбранные точки оказались внутри 2k -угольника с отмеченными
вершинами.
В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны действительные числа. Рассматриваются две
фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать
параллельно линиям сетки на целое число клеток.
Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел,
записанных в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение второй
фигуры, при котором сумма чисел в накрываемых ею клетках положительна.
Страница: << 1612 1613 1614 1615 1616 1617 1618 >> [Всего задач: 8157]
Задача 108148 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 108195 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109007 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109552 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109554 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1612 1613 1614 1615 1616 1617 1618 >> [Всего задач: 8157]
