Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1614 1615 1616 1617 1618 1619 1620 >> [Всего задач: 8157]

Задача 111729

Темы:	[	Достроение тетраэдра до параллелепипеда	]
	[	Объем помогает решить задачу	]
	[	Длины и периметры (геометрические неравенства)	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Наименьшая или наибольшая площадь (объем)	]

Сложность: 6-
Классы: 10,11

Пусть h — наименьшая высота тетраэдра, d — наименьшее расстояние между его противоположными ребрами. При каких t возможно неравенство d>th ?

Прислать комментарий Решение

Задача 111876

Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 6-
Классы: 8,9,10

Автор: Карасев Р.

На плоскости нарисовано несколько прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что каждые два прямоугольника можно пересечь вертикальной или горизонтальной прямой. Докажите, что можно провести одну горизонтальную и одну вертикальную прямую так, чтобы любой прямоугольник пересекался хотя бы с одной из этих двух прямых.

Прислать комментарий Решение

Задача 115399

Темы:	[	Поворот на $90^\circ$	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Теория игр (прочее)	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

На плоскости отмечены все точки с целыми координатами (x,y) такие, что x²+y² 1010 . Двое играют в игру (ходят по очереди). Первым ходом первый игрок ставит фишку в какую-то отмеченную точку и стирает ее. Затем каждым очередным ходом игрок переносит фишку в какую-то другую отмеченную точку и стирает ее. При этом длины ходов должны все время увеличиваться; кроме того, запрещено делать ход из точки в симметричную ей относительно центра. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

Прислать комментарий Решение

Задача 115410

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Метод ГМТ	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Окружность с центром I касается сторон AB , BC , AC неравнобедренного треугольника ABC в точках C₁ , A₁ , B₁ соответственно. Окружности ω_B и ω_C вписаны в четырехугольники BA₁IC₁ и CA₁IB₁ соответственно. Докажите, что общая внутренняя касательная к ω_B и ω_C , отличная от IA₁ , проходит через точку A .

Прислать комментарий Решение

Задача 67557

Темы:	[	Прямая Симсона	]
	[	Прямая Гаусса	]
	[	Подерный (педальный) треугольник	]
	[	Точка Микеля	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Дан треугольник $ABC$. Прямая $m_1$ пересекает прямые $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1, B_1, C_1$ соответственно, а прямая $m_2$ пересекает прямые $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_2, B_2, C_2$, при этом $A_1$ и $A_2$ симметричны относительно середины $BC$, $B_1$ и $B_2$ симметричны относительно середины $CA$, $C_1$ и $C_2$ симметричны относительно середины $AB$. Докажите, что $m_1\perp m_2$ тогда и только тогда, когда $m_1$ и $m_2$ являются для треугольника $ABC$ прямыми Симсона (для некоторых точек окружности $ABC$).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1614 1615 1616 1617 1618 1619 1620 >> [Всего задач: 8157]