Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1613 1614 1615 1616 1617 1618 1619 >> [Всего задач: 8157]

Задача 110178

Темы:	[	Задачи с неравенствами. Разбор случаев	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Челноков Г.Р., Куликов Е.Ю.

В 100 ящиках лежат яблоки, апельсины и бананы. Докажите, что можно так выбрать 51 ящик, что в них окажется не менее половины всех яблок, не менее половины всех апельсинов и не менее половины всех бананов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110748

Темы:	[	Выпуклый анализ и линейное программирование	]
Темы:	[	Неравенства с модулями	]

Сложность: 6-
Классы: 10,11

Даны числа а₁, ..., а_n.
Для 1 ≤ i ≤ n положим

d_i = MAX { a_j | 1 ≤ j ≤ i } - MIN { a_j | i ≤ j ≤ n }
d = MAX { dⁱ | 1 ≤ i ≤ n }

а) Доказать, что для любых x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n выполняется неравенство

MAX { |x_i - a_i| | 1 ≤ i ≤ n } ≥ d/2.

б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {x_i} i=1...n

Прислать комментарий

Решение

Задача 110749

Темы:	[	Прямая Симсона	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Рассмотрим 5 точек A, B, C, D, E так что ABCD - параллелограмм, BCED лежат на одной окружности. A ∈ l, прямая lпересекает внутренность [DC] в F и прямую BC в G. Пусть EF = EG = EC. Доказать, что l - биссектриса угла DAB.

Прислать комментарий Решение

Задача 111041

Темы:	[	Шестиугольники	]
	[	Неравенства с медианами	]
	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 6-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фольклор

Каждая пара противоположных сторон данного выпуклого шестиугольника обладает следующим свойством: расстояние между серединами равно /2 умноженное на сумму их длин. Докажите, что все углы в шестиугольнике равны.

Прислать комментарий Решение

Задача 111350

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Наибольшая или наименьшая длина	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Канунников А.Л.

Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине A квадрата ABCD находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке A ). Вначале лиса сидит в точке C , а зайцы – в точках B и D . Лиса бегает повсюду со скоростью не больше v , а зайцы – по лучам AB и AD со скоростью не больше 1. При каких значениях v лиса сможет поймать обоих зайцев?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1613 1614 1615 1616 1617 1618 1619 >> [Всего задач: 8157]