Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1084 1085 1086 1087 1088 1089 1090 >> [Всего задач: 7526]

Задача 115905

Темы:	[	Теорема Карно	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дан треугольник ABC. Из точек A₁, B₁ и C₁, лежащих на прямых BC, AC и AB соответственно, восставлены перпендикуляры к этим прямым.
Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда C₁A² – C₁B² + A₁B² – A₁C² + B₁C² – B₁A² = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115906

Темы:	[	Теорема Карно	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вневписанные окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Вневписанные окружности треугольника ABC касаются сторон BC, AC и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно.
Докажите, что перпендикуляры, восставленные к этим сторонам в точках соответственно A₁, B₁ и C₁, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115908

Темы:	[	Теорема Карно	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дан правильный треугольник ABC и произвольная точка D. Точки A₁, B₁ и C₁ – центры окружностей, вписанных в треугольники BCD, CAD и ABD соответственно. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин A, B и C на прямые соответственно B₁C₁, A₁C₁ и A₁B₁, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115909

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Теорема Карно	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис соответствующим сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115918

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Окружность, вписанная в угол с вершиной O, касается его сторон в точках A и B. Луч OX пересекает эту окружность в точках C и D, причём
OC = CD = 1. Если M – точка пересечения луча OX и отрезка AB, то чему равна длина отрезка OM?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1084 1085 1086 1087 1088 1089 1090 >> [Всего задач: 7526]