Страница:
<< 1209 1210 1211 1212
1213 1214 1215 >> [Всего задач: 7526]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом
один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
На стороне AB треугольника ABC внешним образом построен квадрат с
центром O. Точки M и N середины сторон AC и BC соответственно, а длины этих сторон равны соответственно a и b. Найти максимум суммы OM + ON, когда угол ACB меняется.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
На берегу круглого озера растут 6 сосен. Известно, что если взять такие два треугольника, что вершины одного совпадают с тремя из сосен, а вершины другого – с тремя другими, то в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот этих треугольников, на дне озера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данные шесть точек на две тройки. Сколько раз придётся опуститься на дно озера, чтобы наверняка отыскать клад?
Докажите, что при гомотетии с центром в точке пересечения высот треугольника
и коэффициентом
описанная окружность треугольника переходит
в окружность девяти точек.
Пусть Ω' – окружность, гомотетичная с коэффициентом ½ вписанной окружности ω треугольника относительно точки Нагеля, а Ω – окружность, гомотетичная окружности ω
с коэффициентом –½ относительно точки пересечения медиан. Докажите, что:
а) окружности Ω и Ω' совпадают;
б) окружность Ω касается средних линий треугольника;
в) окружность Ω' касается прямых, соединяющих попарно середины отрезков с концами в точке Нагеля и вершинах треугольника.
Страница:
<< 1209 1210 1211 1212
1213 1214 1215 >> [Всего задач: 7526]
Фильтр
