Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1312 1313 1314 1315 1316 1317 1318 >> [Всего задач: 7526]

Задача 111113

Темы:	[	Ортоцентрический тетраэдр	]
Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке (такой тетраэдр называется ортоцентрическим). Докажите, что точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр описанной сферы лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 111115

Темы:	[	Ортоцентрический тетраэдр	]
Темы:	[	Достроение тетраэдра до параллелепипеда	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре выполняется соотношение OH2=4R2-3l2 , где H – ортоцентр тетраэдра, R – радиус описанной сферы, l – расстояние между серединами противоположных рёбер.

Прислать комментарий Решение

Задача 111116

Темы:	[	Достроение тетраэдра до параллелепипеда	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть a и a1 , b и b1 , c и c1 – пары противоположных рёбер тетраэдра; α , β и γ соответственно – углы между ними ( α 90^o , β 90^o и γ 90^o ). Докажите, что из трёх величин aa1 cos α , bb1 cos β и cc1 cos γ одна равна сумме двух других.

Прислать комментарий Решение

Задача 111117

Темы:	[	Объем помогает решить задачу	]
Темы:	[	Тетраэдр и пирамида	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что произведение длин двух противоположных рёбер тетраэдра, делённое на произведение синусов двугранных углов тетраэдра, соответствующих этим рёбрам, для данного тетраэдра постоянно (теорема синусов для тетраэдра}.

Прислать комментарий Решение

Задача 111119

Темы:	[	Равногранный тетраэдр	]
Темы:	[	Ортоцентрический тетраэдр	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Высота равногранного тетраэдра равна h, а высота грани делится точкой пересечения высот этой грани на отрезки, равные h₁ и h₂. Докажите, что h² = 4h₁h₂.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1312 1313 1314 1315 1316 1317 1318 >> [Всего задач: 7526]