Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1438 1439 1440 1441 1442 1443 1444 >> [Всего задач: 7526]

Задача 55221

Темы:	[	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.	]
Темы:	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Дан угол XAY и точка O внутри него. Проведите через точку O прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.

Прислать комментарий Решение

Задача 55224

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки соответственно C₁, A₁ и B₁. Известно, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке M. Докажите, что сумма MA₁ + MB₁ + MC₁ не превосходит наибольшей стороны треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 55227

Тема:

[

Неравенство треугольника

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Даны n точек A₁, A₁,..., A_n и окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности можно выбрать точку M, для которой MA₁ + MA₂ +...+ MA_n $\geqslant$ n.

Прислать комментарий Решение

Задача 55229

Тема:

[

Неравенство треугольника

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Докажите, что если стороны треугольника удовлетворяют неравенству a² + b² > 5c², то c — наименьшая сторона.

Прислать комментарий Решение

Задача 55230

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
Темы:	[	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что

AM^.BC + BM^.AC + CM^.AB $\displaystyle \geqslant$ 4S,

где S — площадь треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1438 1439 1440 1441 1442 1443 1444 >> [Всего задач: 7526]