Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64629

Темы:   [ Признаки подобия ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

На стороне AB треугольника ABC выбраны точки C₁ и C₂. Аналогично на стороне BC выбраны точки A₁ и A₂, а на стороне AC – точки B₁ и B₂. Оказалось, что отрезки A₁B₂, B₁C₂ и C₁A₂ имеют равные длины, пересекаются в одной точке, и угол между каждыми двумя из них равен 60°. Докажите, что   .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64631

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Точка Лемуана ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Треугольник ABC вписан в окружность Ω с центром O. Окружность Ω₁, построенная на AO как на диаметре, пересекает описанную окружность Ω₂ треугольника OBC в точке S, отличной от O. Касательные к Ω в точках B и C пересекаются в точке P. Докажите, что точки A, S и P лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64632

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Четность и нечетность ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

По кругу стоят 10¹⁰⁰⁰ натуральных чисел. Между каждыми двумя соседними числами записали их наименьшее общее кратное.
Могут ли эти наименьшие общие кратные образовать 10¹⁰⁰⁰ последовательных чисел (расположенных в каком-то порядке)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64636

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Все клетки квадратной таблицы n×n пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до n². Петя делает ходы по следующим правилам. Первым ходом он ставит фишку в любую клетку. Каждым последующим ходом Петя может либо поставить новую фишку на какую-то клетку, либо переставить фишку из клетки с номером a ходом по горизонтали или по вертикали в клетку с номером большим, чем a. Каждый раз, когда фишка попадает в клетку, эта клетка немедленно закрашивается; ставить фишку на закрашенную клетку запрещено. Какое наименьшее количество фишек потребуется Пете, чтобы независимо от исходной нумерации он смог за несколько ходов закрасить все клетки таблицы?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64640

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Неравенства. Метод интервалов ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Дан многочлен  P(x) = a_2nx²ⁿ + a_2n–1x^2n–1 + ... + a₁x + a₀,  у которого каждый коэффициент a_i принадлежит отрезку  [100, 101].
При каком минимальном натуральном n у такого многочлена может найтись действительный корень?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями