Страница:
<< 47 48 49 50
51 52 53 >> [Всего задач: 1124]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность Ω. Касательные,
проведённые к Ω в точках B и C, пересекаются в точке P.
Точки D и E – основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые AB и AC. Докажите, что точка пересечения высот треугольника ADE является серединой отрезка BC.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Петя и Вася придумали десять квадратных трёхчленов. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из трёхчленов по своему выбору
и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке).
Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
На окружности отметили n точек, разбивающие её на n дуг. Окружность повернули вокруг центра на угол 2πk/n (при некотором натуральном k), в результате чего отмеченные точки перешли в n новых точек, разбивающих окружность на n новых дуг.
Докажите, что найдётся новая дуга, которая целиком лежит в одной из старых дуг. (Считается, что концы дуги ей принадлежат.)
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Петя и Вася придумали десять многочленов пятой степени. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из многочленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Положительные числа a, b, c и d удовлетворяют условию
2(a + b + c + d) ≥ abcd. Докажите, что a² + b² + c² + d² ≥ abcd.
Страница:
<< 47 48 49 50
51 52 53 >> [Всего задач: 1124]
Фильтр
