Страница: << 91 92 93 94 95 96 97 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115396

Темы:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Обход графов ] [ Подсчет двумя способами ] [ Планарные графы. Формула Эйлера ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

В стране некоторые пары городов соединены дорогами, которые не пересекаются вне городов. В каждом городе установлена табличка, на которой указана минимальная длина маршрута, выходящего из этого города и проходящего по всем остальным городам страны (маршрут может проходить по некоторым городам больше одного раза и не обязан возвращаться в исходный город). Докажите, что любые два числа на табличках отличаются не более чем в полтора раза.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115416

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Системы алгебраических неравенств ] [ Разложение на множители ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Числа a, b и c таковы, что  (a + b)(b + c)(c + a) = abc,  (a³ + b³)(b³ + c³)(c³ + a³) = a³b³c³.  Докажите, что  abc = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116560

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

На доску выписаны 2011 чисел. Оказалось, что сумма каждых трёх выписанных чисел также является выписанным числом.
Какое наименьшее количество нулей может быть среди этих чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116565

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

На окружности, описанной около прямоугольника ABCD, выбрана точка K. Оказалось, что прямая CK пересекает отрезок AD в такой точке M, что
AM : MD = 2.  Пусть O – центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника OKD лежит на описанной окружности треугольника COD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116570

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Даны положительные числа b и c. Докажите неравенство  (b – c)²⁰¹¹(b + c)²⁰¹¹(c – b)²⁰¹¹ ≥ (b²⁰¹¹ – c²⁰¹¹)(b²⁰¹¹ + c²⁰¹¹)(c²⁰¹¹ – b²⁰¹¹).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 91 92 93 94 95 96 97 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями