Страница:
<< 92 93 94 95
96 97 98 >> [Всего задач: 1124]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Даны различные натуральные числа a, b. На координатной плоскости
нарисованы графики функций y = sin ax, y = sin bx и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число c, отличное от a, b и такое, что график функции y = sin cx проходит через все отмеченные точки.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Дан остроугольный треугольник ABC. Окружность, проходящая через вершину B и центр O его описанной окружности, вторично пересекает стороны BC и BA в точках P и Q соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника POQ лежит на прямой AC.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально –
это числа 1 и 2 у Пети, 3 и 4 – у Коли. Раз в минуту Петя составляет квадратный трёхчлен f(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа, а Коля – квадратный трёхчлен g(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа. Если уравнение f(x) = g(x) имеет два различных корня, то один из мальчиков заменяет свою пару чисел на эти корни; иначе ничего не происходит.
Какое второе число могло оказаться у Пети в тетради в тот момент, когда первое стало равным 5?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Дан остроугольный треугольник ABC. На продолжениях BB1 и CC1 его высот за точки B1 и C1 выбраны соответственно точки P и Q так, что угол PAQ – прямой. Пусть AF – высота треугольника
APQ. Докажите, что угол BFC – прямой.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
На стороне BC параллелограмма ABCD (∠A < 90°) отмечена точка T так, что треугольник ATD – остроугольный. Пусть O1, O2 и O3 – центры описанных окружностей треугольников ABT,
DAT и CDT соответственно (см. рисунок).
Докажите, что ортоцентр треугольника
O1O2O3 лежит на прямой
AD.
Страница:
<< 92 93 94 95
96 97 98 >> [Всего задач: 1124]
Фильтр
