Страница:
<< 137 138 139 140
141 142 143 >> [Всего задач: 1124]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Числа x1, x2, ..., xn таковы, что x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn ≥ 0 и 
Докажите, что 
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Последовательность
(
an)
задана условиями
a1= 1000000
,
an+1
=n[
]
+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
Вписанная в треугольник ABC окружность ω касается сторонAB и AC в точках D и E соответственно. Пусть P – произвольная точка на большей дуге DE окружности ω, F – точка, симметричная точке A относительно прямой DP, M – середина отрезка DE. Докажите, что угол FMP – прямой.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
300 бюрократов разбиты на три комиссии по 100 человек. Каждые два бюрократа либо знакомы друг с другом, либо незнакомы. Докажите, что найдутся два таких бюрократа из разных комиссий, что в третьей комиссии есть либо 17 человек, знакомых с обоими, либо 17 человек, незнакомых с обоими.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Приведённые квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что уравнения f(g(x)) = 0 и g(f(x)) = 0 не имеют вещественных корней.
Докажите, что хотя бы одно из уравнений f(f(x)) = 0 и g(g(x)) = 0 тоже не имеет вещественных корней.
Страница:
<< 137 138 139 140
141 142 143 >> [Всего задач: 1124]
Фильтр
