Страница:
<< 138 139 140 141
142 143 144 >> [Всего задач: 1124]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу и в знаменателях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу.
Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечётным знаменателем.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном (2n+1)-угольнике (n > 1). Разрешается проводить диагональ, если она пересекается (по внутренним точкам) с чётным числом ранее проведённых диагоналей (и не была проведена раньше). Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В треугольнике ABC проведена биссектриса BB1.
Перпендикуляр, опущенный из точки B1 на BC, пересекает дугу BC описанной окружности треугольника ABC в точке K.
Перпендикуляр опущенный из точки B на AK пересекает AC в точке L. Докажите что точки K, L и середина дуги AC (не содержащей точку B) лежат на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В каждой вершине выпуклого 100-угольника написано по два различных числа.
Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждой вершине так,
чтобы оставшиеся числа в каждых двух соседних вершинах были различными.
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N – середины сторон AB и BC соответственно, точка H – основание высоты, опущенной из вершины B. Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P (P ≠ H). Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN.
Страница:
<< 138 139 140 141
142 143 144 >> [Всего задач: 1124]
Фильтр
