Страница:
<< 139 140 141 142
143 144 145 >> [Всего задач: 1124]
Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC
и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Отрезки CD и BE пересекаются в точке O.
Пусть M и N – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники ADE и ODE. Докажите, что середина меньшей дуги DE лежат на прямой MN.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Найдите все такие тройки действительных чисел x, y, z, что 1 + x4 ≤ 2(y – z)² 1 + y4 ≤ 2(z – x)², 1 + z4 ≤ 2(x – y)².
Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках X и Y соответственно. Точка K– середина дуги AB описанной окружности треугольника ABC (не содержащей точки C). Оказалось, что прямая XY делит отрезок AK пополам. Чему может быть равен угол BAC?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
На доске написано натуральное число. Если на доске написано число x, то можно дописать на нее число 2x + 1 или x/x+2. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.
В треугольнике
ABC проведены биссектрисы
AD ,
BE
и
CF , пересекающиеся в точке
I . Серединный перпендикуляр к отрезку
AD пересекает прямые
BE и
CF в
точках
M и
N соответственно. Докажите, что точки
A ,
I ,
M
и
N лежат на одной окружности.
Страница:
<< 139 140 141 142
143 144 145 >> [Всего задач: 1124]
Фильтр
