Страница:
<< 135 136 137 138
139 140 141 >> [Всего задач: 1124]
Биссектрисы углов
A и
C треугольника
ABC пересекают
описанную окружность этого треугольника
в точках
A0 и
C0 соответственно.
Прямая, проходящая через центр вписанной окружности
треугольника
ABC параллельно стороне
AC , пересекается с прямой
A0C0 в точке
P .
Докажите, что прямая
PB касается описанной окружности треугольника
ABC .
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
В круговых автогонках участвовали четыре гонщика. Их машины стартовали одновременно из одной точки и двигались с постоянными скоростями. Известно, что после начала гонок для каждых трёх машин нашёлся момент, когда они встретились. Докажите, что после начала гонок найдётся момент, когда встретятся все четыре машины. (Гонки считаем бесконечно долгими по времени.)
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
В клетчатом квадрате 101×101 каждая клетка внутреннего квадрата 99×99 покрашена в один из десяти цветов (клетки, примыкающие к границе
квадрата, не покрашены). Может ли оказаться, что в каждом квадрате 3×3 в цвет центральной клетки покрашена еще ровно одна клетка?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что
f '(x)g'(x) ≥ |f(x)| + |g(x)| при всех действительных x.
Докажите, что произведение f(x)g(x) равно квадрату некоторого трёхчлена.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Дано натуральное число n > 6. Рассматриваются натуральные числа, лежащие в промежутке (n(n – 1), n²) и взаимно простые с n(n – 1).
Докажите, что наибольший общий делитель всех таких чисел равен 1.
Страница:
<< 135 136 137 138
139 140 141 >> [Всего задач: 1124]
Фильтр
