Страница:
<< 133 134 135 136
137 138 139 >> [Всего задач: 1124]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Три натуральных числа таковы, что произведение каждых двух из них делится на сумму этих двух чисел.
Докажите, что эти три числа имеют общий делитель, больший единицы.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
В остроугольном треугольнике расстояние от середины каждой стороны до
противоположной вершины равно сумме расстояний от неё до сторон треугольника.
Докажите, что этот треугольник – равносторонний.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами записать натуральные
числа так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
AA1 и BB1 – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. Известно, что отрезок A1B1 пересекает среднюю линию, параллельную AB, в точке C'. Докажите, что отрезок CC' перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника ABC.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
В гоночном турнире 12 этапов и n участников. После каждого этапа все
участники в зависимости от занятого места k получают баллы ak (числа ak натуральны, и a1 > a2 > ... > an). При каком наименьшем n устроитель турнира может выбрать числа a1, ..., an так, что после предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое участников имели шансы занять первое место.
Страница:
<< 133 134 135 136
137 138 139 >> [Всего задач: 1124]
Фильтр
