Страница: << 163 164 165 166 167 168 169 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111875

Темы:   [ Китайская теорема об остатках ] [ Произведения и факториалы ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

При каких натуральных  n > 1  существуют такие натуральные b₁, ..., b_n  (не все из которых равны), что при всех натуральных k число
(b₁ + k)(b₂ + k)...(b_n + k)  является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111879

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Удвоение медианы ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115356

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

В клетки квадрата 100×100 расставили числа 1, 2, ..., 10000, каждое – по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть S – минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать S?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115372

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Уравнения в целых числах ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Для каждого натурального n обозначим через S_n сумму первых n простых чисел:  S₁ = 2,  S₂ = 2 + 3 = 5,  S₃ = 2 + 3 + 5 = 10,  ... .
Могут ли два подряд идущих члена последовательности (S_n) оказаться квадратами натуральных чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115404

Тема:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные n, что при некоторых отличных от нуля действительных числах a, b, c, d многочлен  (ax + b)¹⁰⁰⁰ – (cx + d)¹⁰⁰⁰  после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно n ненулевых коэффициентов.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 163 164 165 166 167 168 169 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями