Страница:
<< 164 165 166 167
168 169 170 >> [Всего задач: 1124]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Даны натуральные числа x и y из отрезка [2, 100]. Докажите, что при некотором натуральном n число x2n + y2n – составное.
В треугольнике
ABC проведена биссектриса
BD (точка
D лежит на отрезке
AC ). Прямая
BD пересекает окружность
Ω ,
описанную около треугольника
ABC , в точках
B и
E . Окружность
ω , построенная на отрезке
DE как на диаметре,
пересекает окружность
Ω в точках
E и
F . Докажите, что прямая, симметричная прямой
BF относительно прямой
BD ,
содержит медиану треугольника
ABC .
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
По кругу стоят 100 напёрстков. Под одним из них спрятана монетка. За один ход разрешается перевернуть четыре напёрстка и проверить, лежит ли под одним из них монетка. После этого их возвращают в исходное положение, а монетка перемещается под один из соседних с ней напёрстков. За какое наименьшее число ходов наверняка удастся обнаружить монетку?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Вася нарисовал на плоскости несколько окружностей и провёл всевозможные
общие касательные к каждой паре этих окружностей. Оказалось, что проведённые прямые содержат все стороны некоторого правильного 2011-угольника. Какое наименьшее количество окружностей мог нарисовать Вася?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что AB·CD = AD·BC. Докажите, что –∠BAC + ∠CBD + ∠DCA + ∠ADB = 180°.
Страница:
<< 164 165 166 167
168 169 170 >> [Всего задач: 1124]
Фильтр
