Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 167 168 169 170 171 172 173 >> [Всего задач: 1124]

Задача 109748

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Раскраски	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Многоугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Лифшиц Ю.

Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)

Прислать комментарий Решение

Задача 109749

Темы:	[	Перебор случаев	]
	[	Математическая логика (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Автор: Лифшиц Ю.

Юра выложил в ряд 2001 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между любыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между любыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя трехкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько у Юры могло быть трехкопеечных монет?

Прислать комментарий Решение

Задача 109761

Темы:	[	Квадратные неравенства и системы неравенств	]
	[	Иррациональные неравенства	]
	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Храбров А.

Докажите, что для любого натурального числа n > 10000 найдётся такое натуральное число m, представимое в виде суммы двух квадратов, что
0 < m – n < 3 .

Прислать комментарий

Решение

Задача 109774

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Тригонометрические уравнения	]
	[	Производные высших порядков	]
	[	Методы математического анализа (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Голованов А.С., Сендеров В.А.

Пусть α , β , γ , τ – такие положительные числа, что при всех x

sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.
Докажите, что α=γ или α=τ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 109802

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
Темы:	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков – белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какую-нибудь коробочку, в которой лежит белый шарик?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 167 168 169 170 171 172 173 >> [Всего задач: 1124]