Страница:
<< 165 166 167 168
169 170 171 >> [Всего задач: 1124]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Существуют ли три взаимно простых в совокупности натуральных числа, квадрат каждого из которых делится на сумму двух оставшихся?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
В Академии Наук 999 академиков. Каждая научная тема интересует ровно троих академиков, и у каждых двух академиков есть ровно одна тема, интересная им обоим. Докажите, что можно выбрать 250 тем из их общей области научных интересов так, чтобы каждый академик интересовался не более чем одной из них.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Для натурального a обозначим через P(a) наибольший простой делитель числа a² + 1.
Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел a, b, c, что P(a) = P(b) = P(c).
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10
|
В некотором городе сеть автобусных маршрутов устроена так, что каждые два маршрута имеют ровно одну общую остановку, и на каждом маршруте есть хотя бы 4 остановки. Докажите, что все остановки можно распределить между двумя компаниями так, что на каждом маршруте найдутся остановки обеих компаний.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Дана пирамида SA1A2...An, основание которой – выпуклый многоугольник A1A2...An. Для каждого i = 1, 2, ..., n в плоскости основания построили треугольник XiAiAi+1, равный треугольнику SAiAi+1 и лежащий по ту же сторону от прямой AiAi+1, что и основание (мы полагаем An+1 = A1). Докажите, что построенные треугольники покрывают всё основание.
Страница:
<< 165 166 167 168
169 170 171 >> [Всего задач: 1124]
Фильтр
