Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 161 162 163 164 165 166 167 >> [Всего задач: 1124]

Задача 110218

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Козлов П.

Число N, не делящееся на 81, представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, делящихся на 3.
Докажите, что оно также представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, не делящихся на 3.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111772

Темы:	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Челноков Г.Р.

При каком наименьшем $n$ для любого набора $A$ из $2007$ множеств найдется такой набор $B$ из $n$ множеств, что каждое множество набора $A$ является пересечением двух различных множеств набора $B$?

Прислать комментарий Решение

Задача 111806

Темы:	[	Математическая логика (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Мурашкин М.В.

На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.

Прислать комментарий Решение

Задача 111808

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Авторы: Храмцов Д., Емельянов Л.А., Богданов И.И., Волченков С.Г.

На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.
Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111813

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена x² – ax + b – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид ^m/_n. Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n^2/3.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 161 162 163 164 165 166 167 >> [Всего задач: 1124]