Версия для печати
Убрать все задачи

---

Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек  (p, q),  для которых все корни уравнения  x³ + px + q = 0  не превосходят по модулю 1.

   Решение

---

а) Докажите, что при n = 2k среди полученных фигур не более 2k - 1 углов.
б) Может ли при n = 100 среди полученных фигур быть только три угла?

   Решение

---

Найдите все решения уравнения  ¹/_x + ¹/_y + ¹/_z = 1  в целых числах, отличных от 1.

   Решение

---

Треугольник, все углы которого не превосходят 120^o, разрезан на несколько треугольников. Докажите, что хотя бы у одного из полученных треугольников все углы не превосходят 120^o.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108199  (#94.4.9.6)

Темы:   [ Окружность, вписанная в угол ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Внутри прямого угла KLM взята точка P. Окружность S₁ с центром O₁ касается сторон LK и LP угла KLP в точках A и D соответственно, а окружность S₂ с центром O₂ такого же радиуса касается сторон угла MLP, причём стороны LP – в точке B. Оказалось, что точка O₁ лежит на отрезке AB. Пусть C – точка пересечения прямых O₂D и KL. Докажите, что BC – биссектриса угла ABD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109594  (#94.4.9.7)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Перебор случаев ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Найдите все такие простые числа p, q, r и s, что их сумма – простое число. а числа  p² + qs  и  p² + qr  – квадраты натуральных чисел. (Числа p, q, r и s предполагаются различными.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109595  (#94.4.9.8)

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Двоичная система счисления ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

В классе 16 учеников. Каждый месяц учитель делит класс на две группы.
Какое наименьшее количество месяцев должно пройти, чтобы каждые два ученика в какой-то из месяцев оказались в разных группах?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109580  (#94.4.10.1)

Темы:   [ Обыкновенные дроби ] [ Инварианты ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Имеется семь стаканов с водой: первый стакан заполнен водой наполовину, второй – на треть, третий – на четверть, четвёртый – на ⅕, пятый – на ⅛, шестой – на ¹/₉, и седьмой – на ¹/₁₀. Разрешается переливать всю воду из одного стакана в другой или переливать воду из одного стакана в другой до тех пор, пока он не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой-нибудь стакан оказаться заполненным   а) на ¹/₁₂;   б) на ⅙?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109581  (#94.4.10.2)

Темы:   [ Возвратные уравнения ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Уравнение  x² + ax + b = 0  имеет два различных действительных корня.
Докажите, что уравнение  x⁴ + ax³ + (b – 2)x² – ax + 1 = 0  имеет четыре различных действительных корня.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями