Страница:
<< 1 2 3 4
5 >> [Всего задач: 24]
Задача
109722
(#00.5.10.8)
|
|
Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11
|
На прямоугольном столе лежат равные картонные квадраты
n
различных цветов со сторонами, параллельными сторонам стола. Если рассмотреть
любые
n квадратов различных цветов, то какие-нибудь два из них
можно прибить к столу одним гвоздем. Докажите, что все квадраты некоторого цвета
можно прибить к столу
2
n-2
гвоздями.
Задача
109707
(#00.5.11.1)
|
|
Сложность: 4- Классы: 9,10,11
|
Найдите все функции
f :
, которые для всех
x,y,z удовлетворяют
неравенству
f(
x+y)
+f(
y+z)
+f(
z+x)
3
f(
x+2
y+3
z)
.
Задача
109708
(#00.5.11.2)
|
|
Сложность: 4- Классы: 7,8,9
|
Докажите, что можно разбить все множество натуральных чисел на 100 непустых подмножеств так, чтобы в любой тройке a, b, c, для которой a + 99b = c, нашлись два числа из одного подмножества.
Задача
109709
(#00.5.11.3)
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник
ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе
пятиугольника
A1B1C1D1E1 (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.
Задача
109710
(#00.5.11.4)
|
|
Сложность: 5+ Классы: 9,10,11
|
Дана последовательность неотрицательных чисел
a1 ,
a2 ,
an . Для любого
k от 1 до
n обозначим через
mk величину
l=1,2,..,k .
Докажите, что при любом
α>0
число тех
k , для которых
mk>α , меньше, чем
a1+a2+...+an α.
Страница:
<< 1 2 3 4
5 >> [Всего задач: 24]