Версия для печати
Убрать все задачи

---

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, лучи BA и CD пересекаются в точке E, лучи BC и AD – в точке F. Вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AB, CD и биссектрисой угла B, касается прямой AB в точке K, а вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AD, BC и биссектрисой угла B, касается прямой BC в точке L. Докажите, что прямые KL, AC и EF пересекаются в одной точке.

   Решение

---

В окружности $\Omega $ хорды $A_1A_2$, $A_3A_4$, $A_5A_6$ пересекаются в точке $O$. Пусть $B_i$ – вторая точка пересечения окружности $\Omega$ с окружностью, построенной на отрезке $OA_i$ как на диаметре. Докажите, что хорды $B_1B_2$, $B_3B_4$, $B_5B_6$ пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 44]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111651

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Существует ли арифметическая прогрессия из пяти различных натуральных чисел, произведение которых есть точная 2008-я степень натурального числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111682

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

На шахматной доске 100×100 расставлено 100 не бьющих друг друга ферзей.
Докажите, что в каждом угловом квадрате 50×50 находится хотя бы один ферзь.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111684

Темы:   [ Удвоение медианы ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Сережа нарисовал треугольник ABC и провёл в нем медиану AD. Затем он сообщил Илье, какова в этом треугольнике длина медианы AD и какова длина стороны AC. Илья, исходя из этих данных, доказал утверждение: угол CAB тупой, а угол DAB острый. Найдите отношение  AD : AC  (и докажите для любого треугольника с таким отношением утверждение Ильи).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111692

Темы:   [ Трапеции (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Дана неравнобокая трапеция ABCD. Точка A₁ – это точка пересечения описанной окружности треугольника BCD с прямой AC,
отличная от C. Аналогично определяются точки B₁, C₁, D₁. Докажите, что A₁B₁C₁D₁ – тоже трапеция.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64513

Темы:   [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В ромбе ABCD  ∠А = 120°.  На сторонах BC и CD взяты точки M и N так, что  ∠NAM = 30°.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника NAM лежит на диагонали ромба.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 44]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями