Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть a и b – два положительных числа, и  a < b.  Определим две последовательности чисел {a_n} и {b_n} формулами:

  а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.
Этот предел называется арифметико-гармоническим средним чисел a и b.
  б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел a и b.
  в) Пусть  a = 1,  b = k.  Как последовательность {b_n} связана с последовательностью {x_n} из задачи 61299?

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116911  (#10.1)

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Четность и нечетность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Степень вершины ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

При каких n можно оклеить в один слой поверхность клетчатого куба n×n×n бумажными прямоугольниками 1×2 так, чтобы каждый прямоугольник граничил по отрезкам сторон ровно с пятью другими?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116912  (#10.2)

Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Точку внутри треугольника назовём хорошей, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116913  (#10.3)

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Формулы для площади треугольника ] [ Момент инерции ]

Сложность: 5- Классы: 9,10

Пусть M и I – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника ABC, а r – радиус вписанной в него окружности.
Докажите, что  MI = ^r/₃  тогда и только тогда, когда прямая MI перпендикулярна одной из сторон треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116914  (#10.4)

Темы:   [ ГМТ (прочее) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Дан квадрат. Найдите геометрическое место середин гипотенуз прямоугольных треугольников, вершины которых лежат на попарно различных сторонах квадрата и не совпадают с его вершинами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116915  (#10.5)

Темы:   [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

В окружность Ω вписан четырёхугольник ABCD, диагонали AC и BD которого перпендикулярны. На сторонах AB и CD во внешнюю сторону как на диаметрах построены дуги α и β. Рассмотрим две луночки, образованные окружностью Ω и дугами α и β (см. рис.). Докажите, что максимальные радиусы окружностей, вписанных в эти луночки, равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями