ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



Задача 65190  (#5)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Якубов А.

В остроугольном треугольнике ABC, в котором  ∠A = 45°,  проведены высоты AA1, BB1, CC1. Биссектриса угла BAA1 пересекает прямую B1A1 в точке D, а биссектриса угла CAA1 пересекает прямую C1A1 в точке E. Найдите угол между прямыми BD и CE.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65175  (#5)

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Император пригласил на праздник 2015 волшебников, некоторые из которых добрые, а остальные злые. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой может говорить что угодно. При этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император нет. На празднике император задаёт каждому волшебнику (в каком хочет порядке) по вопросу, на которые можно ответить "да" или "нет". Опросив всех волшебников, император изгоняет одного. Изгнанный волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. Затем император вновь задает каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (он может это сделать после любого вопроса). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при этом не более одного доброго.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65200  (#5)

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Перпендикулярные прямые ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Ивлев Ф.

Дан треугольник ABC. Проведены высота AH и медиана CM. Обозначим точку их пересечения через P. Высота, проведённая из вершины B треугольника, пересекается с перпендикуляром, опущенным из точки H на прямую CM, в точке Q. Докажите, что прямые CQ и BP перпендикулярны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65205  (#5)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Доказательство от противного ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Докажите, что в таблице 8×8 нельзя расставить натуральные числа от 1 до 64 (каждое по одному разу) так, чтобы в ней для любого квадрата 2×2 вида    было выполнено равенство  |ad – bc| = 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65211  (#6)

Темы:   [ Сферы (прочее) ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

На поверхности сферической планеты расположены четыре материка, отделённые друг от друга океаном. Назовем точку океана особой, если для нее найдутся не менее трёх ближайших (находящихся от нее на равных расстояниях) точек суши, причём все на разных материках. Какое наибольшее число особых точек может быть на этой планете?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .