ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]      



Задача 65396

Тема:   [ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде  3u12v1 + 3u22v2 + ... + 3uk2vk,  где  u1 > u2 > ... > uk ≥ 0  и  0 ≤ v1 < v2 < ... < vk  – целые числа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65397

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Прямоугольный треугольник с углом в 30╟ ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC биссектриса угла A, серединный перпендикуляр к стороне AB и высота, опущенная из вершины B, пересекаются в одной точке. Докажите, что биссектриса угла A, серединный перпендикуляр к AC и высота, опущенная из C, также пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65401

Темы:   [ Прямоугольный треугольник с углом в 30╟ ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Сумма n последовательных натуральных чисел – простое число. Найдите все n, при которых это возможно.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65402

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Инварианты ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

а) Есть три одинаковых больших сосуда. В одном – 3 л сиропа, в другом – 20 л воды, третий – пустой. Можно выливать из одного сосуда всю жидкость в другой или в раковину. Можно выбрать два сосуда и доливать в один из них из третьего, пока уровни жидкости в выбранных сосудах не сравняются. Как получить 10 л разбавленного 30%-го сиропа?

б) То же, но воды – N л. При каких целых N можно получить 10 л разбавленного 30%-го сиропа?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65405

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Звенья AB, BC и CD ломаной ABCD равны по длине и касаются некоторой окружности с центром O.
Доказать, что точка K касания этой окружности со звеном BC, точка O и точка пересечения прямых AC и BD лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .