ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



Задача 65667  (#3)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

На медиане AM треугольника ABC нашлась такая точка K, что  AK = BM.  Кроме того,  ∠AMC = 60°.  Докажите, что  AC = BK.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65673  (#3)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Васе задали на дом уравнение  x² + p1x + q1 = 0,  где p1 и q1 – целые числа. Он нашел его корни p2 и q2 и написал новое уравнение  x² + p2x + q2 = 0.  Повторив операцию еще трижды, Вася заметил, что он решал четыре квадратных уравнения и каждое имело два различных целых корня (если из двух возможных уравнений два различных корня имело ровно одно, то Вася всегда выбирал его, а если оба – любое). Однако, как ни старался Вася, у него не получилось составить пятое уравнение так, чтобы оно имело два различных вещественных корня, и Вася сильно расстроился. Какое уравнение Васе задали на дом?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65679  (#3)

Темы:   [ Теорема Виета ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Уравнение с целыми коэффициентами  x4 + ax³ + bx² + cx + d = 0  имеет четыре положительных корня с учетом кратности.
Найдите наименьшее возможное значение коэффициента b при этих условиях.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65684  (#3)

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Пересекающиеся окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Внутри трапеции ABCD с основаниями AD и BC отмечены точки M и N так, что  AM = CN  и  BM = DN,  а четырёхугольники AMND и BMNC – вписанные. Докажите, что прямая MN параллельна основаниям трапеции.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65690  (#3)

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Можно ли отметить k вершин правильного 14-угольника так, что каждый четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках, имеющий две параллельные стороны, является прямоугольником, если:  а) k = 6;   б) k ≥ 7?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .