Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]

Задача 66962 (#8.2)

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Кожевников П.А.

Через вершины треугольника $ABC$ проведены параллельные прямые $l_a$ , $l_b$ , $l_c$ . Пусть прямая $a$ симметрична высоте $AH_a$ относительно $l_a$ . Аналогично определяем $b$ , $c$ . Докажите, что $a$ , $b$ , $c$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 66963 (#8.3)

Темы:	[	ГМТ (прочее)	]
	[	Задачи на движение	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Заславский А.А.

Участники тараканьих бегов бегут по окружности в одном направлении, стартовав одновременно из точки $S$ . Таракан $A$ бежит вдвое медленнее, чем $B$ , и втрое медленнее, чем $C$ . Точки $X$ , $Y$ на отрезке $SC$ таковы, что $SX=XY=YC$ . Прямые $AX$ и $BY$ пересекаются в точке $Z$ . Найдите ГМТ пересечения медиан треугольника $ZAB$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 66964 (#8.4)

Темы:	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Кухарчук И.

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $CH$ пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $A_1$ и $C_1$ . Точки $A_2$ и $C_2$ симметричны относительно $AC$ точкам $A_1$ и $C_1$ . Докажите, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников $C_2HA_1$ и $C_1HA_2$ равно $AC$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 66966 (#8.5)

Темы:	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Saghafian M.

Пусть $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , $A_4$ и $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ , $B_4$ – две четверки точек, не лежащих на одной окружности. Известно, что для любых $i$ , $j$ , $k$ радиусы описанных окружностей треугольников $A_iA_jA_k$ и $B_iB_jB_k$ равны. Обязательно ли $A_iA_j=B_iB_j$ для любых $i$ , $j$ ?

Прислать комментарий Решение

Задача 66965 (#8.6)

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Дидин М.

Дан остроугольный треугольник $ABC$ . Точка $P$ выбрана так, что $AP=AB$ и $PB \parallel AC$ . Точка $Q$ выбрана так, что $AQ=AC$ и $CQ \parallel AB$ . Отрезки $CP$ и $BQ$ пересекаются в точке $X$ . Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на окружности $(PXQ)$ .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]