Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67187  (#5)

Темы:   [ Разрезания (прочее) ] [ Параллелограммы (прочее) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67188  (#6)

Темы:   [ Троичная система счисления ] [ Числовые последовательности (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Назовём тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность $(a_n)$ строится следующим образом: $a_0 = 0$, $a_1 = 1$ и при $n > 1$ число $a_n$ — такое минимальное натуральное число, большее $a_{n-1}$, что среди чисел $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_{2023} \leqslant 100\,000$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67189  (#1)

Темы:   [ Модуль числа (прочее) ] [ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Про четыре целых числа $a,b,c,d$ известно, что $$a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1.$$ Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на один.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67190  (#2)

Тема:   [ Текстовые задачи (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В эстафетном забеге Москва—Петушки участвовали две команды по $20$ человек. Каждая из команд по-своему разделила дистанцию на $20$ не обязательно равных отрезков и распределила их между участниками так, чтобы каждый бежал ровно один отрезок (скорость каждого участника постоянна, но скорости разных участников могут быть различны). Первые участники обеих команд стартовали одновременно, а передача эстафеты происходит мгновенно. Какое максимальное количество обгонов могло быть в таком забеге? Опережение на границе этапов обгоном не считается.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67185  (#3)

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями