Страница:
<< 57 58 59 60
61 62 63 >> [Всего задач: 333]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Обозначим через d(N) число делителей N (числа 1 и N также считаются делителями). Найти все такие N, что число P = 
– простое.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых
не превосходят n, расположенные в порядке возрастания (ряд Фарея). Пусть a/b и c/d – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что |bc – ad| = 1.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Существуют ли такие две функции f и g, принимающие только целые значения, что для любого целого x выполнены соотношения:
а) f(f(x)) = x, g(g(x)) = x, f(g(x)) > x, g(f(x)) > x?
б) f(f(x)) < x, g(g(x)) < x, f(g(x)) > x, g(f(x)) > x?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10
|
Радикалом натурального числа N (обозначается rad(N)) называется произведение всех простых делителей числа N, взятых по одному разу. Например,
rad(120) = 2·3·5 = 30. Существует ли такая тройка попарно взаимно простых натуральных чисел A, B, C, что A + B = C и C > 1000 rad(ABC)?
Страница:
<< 57 58 59 60
61 62 63 >> [Всего задач: 333]
Фильтр
