Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]

Задача 66176

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Инварианты	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Объем помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Авторы: Горский Е.А., Дориченко С.А.

На доске написаны три натуральных числа. Петя записывает на бумажке произведение каких-нибудь двух из этих чисел, а на доске уменьшает третье число на 1. С новыми тремя числами на доске он снова проделывает ту же операцию, и так далее, до тех пор пока одно из чисел на доске не станет нулём. Чему будет в этот момент равна сумма чисел на Петиной бумажке?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98097

Темы:	[	Квадратные неравенства и системы неравенств	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Основные свойства центра масс	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Автор: Столов Е.

Сумма n чисел равна нулю, а сумма их квадратов равна единице. Докажите, что среди этих чисел найдутся два, произведение которых не больше – ¹/_n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79580

Темы:	[	Замена переменных	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Найдите наибольшее значение выражения

x $\displaystyle \sqrt{1-y^2}$ + y $\displaystyle \sqrt{1-x^2}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61283

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Тригонометрические замены	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство

0 < $\displaystyle {\frac{x-y}{1+xy}}$ < $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt3}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 73792

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Замена переменных	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

При каких натуральных n ≥ 2 неравенство выполняется для любых действительных чисел x₁, x₂, ..., x_n, если
а) p = 1;
б) p = ⁴/₃;
в) p = ⁶/₅?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]