Каталог по темам

Задачи

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 376]

Задача 111764

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Бадзян А.И.

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка M так, что точка пересечения медиан треугольника ABM лежит на описанной окружности треугольника ACM , а точка пересечения медиан треугольника ACM лежит на описанной окружности треугольника ABM . Докажите, что медианы треугольников ABM и ACM из вершины M равны.

Прислать комментарий Решение

Задача 65046

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Теорема о группировке масс	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Заславский А.А., Белухов Н.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины диагоналей AC и BD.
Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный тогда и только тогда, когда IM : AC = IN : BD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109803

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Берлов С.Л., Емельянов Л.А., Смирнов А.

Четырёхугольник ABCD является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в ABCD окружность касается его сторон AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Биссектрисы внешних углов A и B четырёхугольника пересекаются в точке K', внешних углов B и C – в точке L', внешних углов C и D – в точке M', внешних углов D и A – в точке N'. Докажите, что прямые KK', LL', MM' и NN' проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 52400

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке E, лежащей на стороне CD. Известно, что ${\frac{CD}{BC}}$ = m. Найдите:

1) отношение расстояний от точки E до прямых AD и BC;

2) отношение площадей треугольников ADE и BCE.

Прислать комментарий Решение

Задача 52401

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

На дуге окружности, стягиваемой хордой AD, взяты точки B и C. Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке E, лежащей на хорде AD. Известно, ${\frac{AD}{CD}}$ = k. Найдите:

1) отношение расстояний от точки E до прямых AB и CD;

2) отношение ${\frac{AB}{CD}}$ .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 376]