Страница:
<< 112 113 114 115
116 117 118 >> [Всего задач: 1005]
|
[Теорема Птолемея]
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9
|
Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.
На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC зелёной
краской отметили соответственно точки C1, A1 и B1, отличные от вершин треугольника. Оказалось, что AC1 : C1B = BA1 : A1C = CB1 : B1A, а ∠A = ∠B1A1C1. Докажите, что треугольник с зелёными вершинами подобен треугольнику ABC.
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Противоположные стороны
AB и CD при продолжении пересекаются в точке K, стороны BC и AD – в точке L.
Докажите, что биссектрисы углов BKC и BLA пересекаются на прямой, проходящей через середины AC и BD.
Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки M окружности до сторон (или их продолжений) одного многоугольника равно произведению расстояний от этой точки до сторон (или их продолжений) второго.
Около окружности описана трапеция ABCD, боковая сторона AB
перпендикулярна основаниям, M – точка пересечения диагоналей
трапеции. Площадь треугольника CMD равна S. Найдите радиус окружности.
Страница:
<< 112 113 114 115
116 117 118 >> [Всего задач: 1005]
Фильтр
