Страница:
<< 36 37 38 39
40 41 42 >> [Всего задач: 401]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Отрезки $AA', BB'$ и $CC'$ с концами на сторонах остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$ внутри треугольника. На каждом из этих отрезков как на диаметре построена окружность, в которой перпендикулярно этому диаметру проведена хорда через точку $P$. Оказалось, что три проведённые хорды имеют одинаковую длину. Докажите, что $P$ – точка пересечения высот треугольника $ABC$.
Прямоугольный треугольник с острым углом α расположен внутри окружности радиуса R так, что гипотенуза треугольника является хордой окружности,
а вершина прямого угла треугольника лежит на диаметре, параллельном гипотенузе. Найдите площадь этого треугольника.
а) Внутри окружности находится некоторая точка A. Через A провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых.
б) Внутри окружности находится правильный 2n-угольник (n > 2), его центр A не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из A в вершины 2n-угольника, высекают 2n точек на окружности. 2n-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2n новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2n точек.
Докажите, что из всех хорд, проходящих через точку A, взятую
внутри круга и отличную от центра, наименьшей будет та,
которая перпендикулярна диаметру, проходящему через точку A.
Через вершины B и C треугольника ABC проведена окружность,
которая пересекает сторону AB в точке K и сторону AC в точке E.
Найдите AE, зная, что
AK = KB = a,
BCK = 
,
CBE = 
.
Страница:
<< 36 37 38 39
40 41 42 >> [Всего задач: 401]
Фильтр
