Каталог по темам

Задачи

Страница: << 53 54 55 56 57 58 59 >> [Всего задач: 292]

Задача 65127

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Якубов А.

Продолжения медиан AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках A₀, B₀ и C₀ соответственно. Оказалось, что площади треугольников ABC₀, AB₀C и A₀BC равны. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65955

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Равные треугольники. Признаки равенства	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Средняя линия трапеции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC отметили точки K и L соответственно так, что AK = CL и ∠ALK + ∠LKB = 60°.
Докажите, что KL = BC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66304

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Подобные фигуры	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Бакаев Е.В.

На плоскости даны два правильных тринадцатиугольника A₁A₂...A₁₃ и B₁B₂...B₁₃, причём точки B₁ и A₁₃ совпадают и лежат на отрезке A₁B₁₃, а многоугольники лежат по одну сторону от этого отрезка. Докажите, что прямые A₁A₉, B₁₃B₈ и A₈B₉ проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65810

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Выход в пространство	]
	[	Равногранный тетраэдр	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Якубов А.

Пусть M_A, M_B, M_C – середины сторон неравнобедренного треугольника ABC, точки H_A, H_B, H_C, отличные от M_A, M_B, M_C, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что M_AH_B = M_AH_C, M_BH_A = M_BH_C, M_CH_A = M_CH_B. Докажите, что H_A, H_B, H_C – основания высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108111

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Автор: Заславский А.А.

Радиус описанной окружности треугольника ABC равен радиусу окружности, касающейся стороны AB в точке C' и продолжений двух других сторон в точках A' и B' . Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC совпадает с ортоцентром (точкой пересечения высот) треугольника A'B'C' .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 53 54 55 56 57 58 59 >> [Всего задач: 292]