Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]

Задача 60472

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

При каких целых n число n⁴ + 4 – составное?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109543

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]
	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство a² + ab + b² ≥ 3(a + b – 1).

Прислать комментарий

Решение

Задача 109163

Темы:	[	Тригонометрические уравнения	]
	[	Монотонность и ограниченность	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Найти все действительные решения уравнения x²+2x sin xy+1=0 .

Прислать комментарий Решение

Задача 65079

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Фон-дер-Флаас Д.

В вершинах куба расставили числа 1², 2², ..., 8² (в каждую из вершин – по одному числу). Для каждого ребра посчитали произведение чисел в его концах. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих произведений.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66863

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Грибалко А.В.

На доске написаны 2$n$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся 2$n$ последовательных чисел.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]